题目内容
【题目】已知函数
．
（Ⅰ）若函数
在
处的切线平行于直线
，求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数
在区间
上零点的个数；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在
上存在一点
，使得
成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
时， 
在
无零点； 
时， 
在
恰有一个零点； 
时， 
在
有两个零点（3）
或
【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得
， 
；（2）函数的零点个数等价于两个函数的交点的个数，即
与
的交点个数；（3）不等式能成立问题转化为函数的最值问题.
试题解析：
（Ⅰ）
,函数
在
处的切线平行于直线
.
.
（Ⅱ）令
， 
得
记
， 
由此可知
在
上递减，在
上递增，
且
时
故
时， 
在
无零点
时， 
在
恰有一个零点
时， 
在
有两个零点
（Ⅲ）在
上存在一点
,使得
成立等价于函数
在
上的最小值小于零.
,
①当
时,即
时, 
在
上单调递减,所以
的最小值为
,由
可得
,
；
②当
时,即
时, 
在
上单调递增,所以
的最小值为
,由
可得
；
③当
时,即
时,可得
的最小值为
此时, 
不成立.
综上所述:可得所求
的范围是
或
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