Question

7．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=3，△ABC的面积S∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，则角B的取值范围是[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]．

Answer 1

分析 由已知条件，$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|•（-cosB）=3$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|sinB$$∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$，这样便可得到$tanB∈[-1，-\frac{\sqrt{3}}{3}]$，根据正切函数在$（\frac{π}{2}，π）$上的单调性便可得出角B的取值范围．

解答 解：根据条件：$-|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|cosB=3$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|=-\frac{3}{cosB}$；
△ABC的面积S$∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$；
∴$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|sinB∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$；
∴$-\frac{3}{2}tanB∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$；
∴$tanB∈[-1，-\frac{\sqrt{3}}{3}]$；
∴$B∈[\frac{3π}{4}，\frac{5π}{6}]$；
∴角B的取值范围为[$\frac{3π}{4}，\frac{5π}{6}$]．
故答案为：[$\frac{3π}{4}，\frac{5π}{6}$]．

点评 考查数量积的计算公式，三角形的面积公式，三角形内角的范围，以及正切函数的单调性．