题目内容

求出同时满足下列条件的双曲线方程:

(1)渐近线方程为x+2y=0和x-2y=0;

(2)点A(5,0)到双曲线上动点P的距离的最小值为.

思路解析:根据已知双曲线的渐近线方程,常联系具有公共渐近线的双曲线方程.

解:满足条件(1)的双曲线方程可设为x2-4y2=λ(λ≠0),

∵P(x,y)在双曲线上,

∴|AP|2=(x-5)2+y2=(x-5)2+

=x2-10x+25-=(x-4)2+.

①若λ<0,则双曲线的焦点在y轴上,x∈R.∴当x=4时,

|AP|min2==6.∴λ=-4,此时双曲线方程为y2-=1.

②若λ>0,则双曲线的焦点在x轴上,x≤-或x≥.

≤4时,则x=时,|AP|min2==6,得λ=-4不适合;

>4时,则x=时,|AP|min2=(-4)2+=6,解得λ=(5+)2,

双曲线方程为x2-4y2=(5+)2.

综上,所求双曲线方程为y2-=1或x2-4y2=(5+)2.

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