题目内容
(满分16分)记函数f(x)的定义域为D,若存在,使成立,则称以为坐标的点为函数图象上的不动点。
(1)若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点,求应满足的条件;
(2)下述结论“若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个”是否正确?若正确,请给予证明,并举出一例;若不正确,请举出一反例说明。
解:(1)由, …………………………………………2分
整理得 (*)……………………………………4分
由题意知方程(*)有两个互为相反数的根,所以即………6分
,,……………………………………………………8分
故应满足且……………………………………………………10分
(2)结论正确。……………………………………………………12分
证明:为奇函数,,取,得,即(0,0)为函数的一个不动点,设函数除0以外还有不动点,则
又,故也为函数的不动点。………………………………14分
综上,若定义在R上的奇函数图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个。
例如:。……………………………………………………………………16分
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