Question

（本小题12分）

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．

（1）求证：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（2）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，

A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

Answer 1

解: （1）在正三棱柱中，C C₁⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥C C₁．………………………………………2分

又AD⊥C₁D，C C₁交C₁D于C₁，且C C₁和C₁D都在面BC C₁ B₁内，

              ∴ AD⊥面BC C₁ B₁．   ……………………………………………5分

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．………………7分

当，即E为B₁C₁的中点时，A₁E∥平面ADC₁．………………………8分

事实上，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形BC C₁ B₁是矩形，且D、E分别是BC、B₁C₁的中点，所以B₁B∥DE，B₁B= DE． …………………………………10分

又B₁B∥AA₁，且B₁B=AA₁，

∴DE∥AA₁，且DE=AA₁．  …………………………………………………12分

所以四边形ADE A₁为平行四边形，所以E A₁∥AD．

而E A₁面AD C₁内，故A₁E∥平面AD C₁． …………………………14分