Question

设函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，a、b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点；
（Ⅰ）若a=0，求b的取值范围；
（Ⅱ） 当a是给定的实常数，设x₁x₂x₃是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列x₁，x₂，x₃，x₄（其中{i₁，i₂，i₃}={1，2，3，4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x₄；若不存在，说明理由、

Answer 1

分析：（I）由函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，我们易求出a=0时，函数的解析式及其导函数的解析式，构造函数g（x）=x²+（b+3）x+2b，结合x=a是f（x）的一个极大值点，我们分析函数g（x）=x²+（b+3）x+2b的两个零点与0的关系，即可确定b的取值范围；
（Ⅱ）由函数f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，我们易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x₁、a、x₂是f（x）的三个极值点，且x1=

(a-b-3)- (a+b-1)2+8

2

，x2=

(a-b-3)+ (a+b-1)2+8

2

，分别讨论x₁、a、x₂是x₁，x₂，x₃，x₄的某种排列构造等差数列时其中三项，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）解：a=0时，f（x）=x²（x+b）e^x，∴f'（x）=[x²（x+b）]^′e^x+x²（x+b）（e^x）^′=e^xx[x²+（b+3）x+2b]，
令g（x）=x²+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）²-8b=（b-1）²+8＞0，∴设x₁＜x₂是g（x）=0的两个根，
（1）当x₁=0或x₂=0时，则x=0不是极值点，不合题意；
（2）当x₁≠0且x₂≠0时，由于x=0是f（x）的极大值点，故x₁＜0＜x₂．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．
（Ⅱ）解：f'（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，则△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是，假设x₁，x₂是g（x）=0的两个实根，且x₁＜x₂．
由（Ⅰ）可知，必有x₁＜a＜x₂，且x₁、a、x₂是f（x）的三个极值点，
则x1=

(a-b-3)- (a+b-1)2+8

2

，x2=

(a-b-3)+ (a+b-1)2+8

2

假设存在b及x₄满足题意，
（1）当x₁，a，x₂等差时，即x₂-a=a-x₁时，
则x₄=2x₂-a或x₄=2x₁-a，
于是2a=x₁+x₂=a-b-3，即b=-a-3．
此时x₄=2x₂-a=a-b-3+

(a+b-1)2+8

-a=a+2

6

或x₄=2x₁-a=a-b-3-

(a+b-1)2+8

-a=a-2

6

（2）当x₂-a≠a-x₁时，则x₂-a=2（a-x₁）或（a-x₁）=2（x₂-a）
①若x₂-a=2（a-x₁），则x4=

a+x2

2

，
于是3a=2x1+x2=

3(a-b-3)- (a+b-1)2+8

2

，
即

(a+b-1)2+8

=-3(a+b+3)．
两边平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b-1=

-9- 13

2

，
此时b=-a-

7+ 13

2

，
此时x4=

a+x2

2

=

2a+(a-b-3)-3(a+b+3)

4

=-b-3=a+

1+ 3

2

．
②若（a-x₁）=2（x₂-a），则x4=

a+x1

2

，
于是3a=2x2+x1=

3(a-b-3)+ (a+b-1)2+8

2

，
即

(a+b-1)2+8

=3(a+b+3)．
两边平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b-1=

-9+ 13

2

，
此时b=-a-

7- 13

2

此时x4=

a+x1

2

=

2a+(a-b-3)-3(a+b+3)

4

=-b-3=a+

1- 13

2

综上所述，存在b满足题意，
当b=-a-3时，x4=a±2

6

，
b=-a-

7+ 13

2

时，x4=a+

1+ 13

2

，
b=-a-

7- 13

2

时，x4=a+

1- 13

2

．

点评：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．