题目内容
已知a为常数，若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是
- A.[-
，+∞） - B.[-，0）
- C.[，+∞）
- D.[1，+∞）
A
分析：根据题意，曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．
解答：令y=f（x）═ax2+3x-lnx
由题意，x+y-1=0斜率是-1，则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1
∴f′（x）=1有解
∵函数的定义域为{x|x＞0}
∴f′（x）=1有正根
∵f（x）=ax2+3x-lnx
∴f'（x）=2ax+3-
=1有正根
∴2ax2+2x-1=0有正根
∴2a=
=
∴2a≥-1
∴a≥-
故选A．
点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
分析：根据题意，曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．
解答：令y=f（x）═ax2+3x-lnx
由题意，x+y-1=0斜率是-1，则与直线x+y-1=0垂直的切线的斜率是1
∴f′（x）=1有解
∵函数的定义域为{x|x＞0}
∴f′（x）=1有正根
∵f（x）=ax2+3x-lnx
∴f'（x）=2ax+3-
=1有正根∴2ax2+2x-1=0有正根
∴2a=
=∴2a≥-1
∴a≥-
故选A．
点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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