Question

已知a为常数，a＞0且a≠1，指数函数f（x）=a^x和对数函数g（x）=log_ax的图象分别为C₁与C₂，点M在曲线C₁上，线段OM（O为坐标原点）与曲线C₁的另一个交点为N，若曲线C₂上存在一点P，且点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

分析：先设点M的坐标为（m，a^m），点N的坐标为（n，aⁿ），根据条件求出点P的坐标，根据O、M、N三点共线建立等式，解之求出m，从而求出点P的坐标．

解答：解：设点M的坐标为（m，a^m），点N的坐标为（n，aⁿ）
∵点P的横坐标与点M的纵坐标相等
∴点P的坐标为（a^m，m）
∵点P的纵坐标是点N的横坐标2倍，
∴m=2n
而O、M、N三点共线则

am

m

=

an

n

= 

a m 2

m 2

解得：a^m=4即m=log_a4
∴点P的坐标为（4，log_a4）
故答案为：（4，log_a4）

点评：本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质，同时考查了理解题意的能力，转化的思想，属于中档题．