题目内容
(本小题满分12分)
已知函数,若
,则称
为
的“不动点”;若
,则称
为
的“稳定点”。记集合
(1)已知,若
是在
上单调递增函数,是否有
?若是,请证明。
(2)记表示集合
中元素的个数,问:
若函数
,若
,则
是否等于0?若是,请证明
若
,试问:
是否一定等于1?若是,请证明
【答案】
(1) (2)
,
是不一定等于1。
【解析】
试题分析:(1)证明:先证 任取,则
再证 任取
若,不妨设
由单调递增可知: 与
矛盾
同理也矛盾,所以
综上:
(2)①若 由于
无实根 则对任意实数x,
从而 故
无实根
同理若对任意实数x,
,从而
故也无实根
②不妨设是B中唯一元素 则
令 那么
而
故 说明t也是
的不动点
由于 只有唯一的不动点 故
即
这说明t也是的不动点,从而存在性得证
以下证明唯一性:若还有另外一个不动点m,即
则 这说明
还有另外一个稳定点m
与题设矛盾。
考点:本试题考查了函数的新定义的运用。
点评:结合新定义,和已学的函数单调性的性质,来分析函数的最值, 同时对于不动点的问题,要加以转化为方程根的问题来处理,属于中档题。

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