题目内容
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=1,且
c2+a2-ac=1.
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)求
c-2a的取值范围.
分析:(I)由
c2+a2-ac=1利用余弦定理可得 cosB 的值,从而求得B的值.
(II)由正弦定理可得,三角形外接圆的直径2r=
=2,由此求得
c-2a=2
sinC-4sinA,再利用两角和的正弦、余弦公式化简为 2cos(A+
),根据 A+
的范围
求出2cos(A+
)的范围,从而得到
c-2a的取值范围.
解答:解:(I)由
c2+a2-ac=1利用余弦定理可得 cosB=
=
=
,
∵0<B<π,∴B=
.
(II)由正弦定理可得,三角形外接圆的直径2r=
=2,
∴
c-2a=2
sinC-4sinA=2
sin(
-A)-4sinA=2
(
cosA+
sinA)-4sinA
=
cosA-sinA=2cos(A+
).
∵0<A<
,∴
<A+
<π,
∴-1<cos(A+
)<
,
∴-2<2cos(A+
)<
,
故
c-2a的取值范围为(-2,
).
点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,两角和的正弦、余弦公式,求三角函数的最值,属于中档题.
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