题目内容

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=1,且c2+a2-
3
ac=1

(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)求
3
c-2a
的取值范围.
分析:(I)由c2+a2-
3
ac=1
利用余弦定理可得 cosB 的值,从而求得B的值.
(II)由正弦定理可得,三角形外接圆的直径2r=
b
sinB
=2,由此求得
3
c-2a
=2
3
sinC-4sinA,再利用两角和的正弦、余弦公式化简为 2cos(A+
π
6
),根据 A+
π
6
的范围
求出2cos(A+
π
6
)的范围,从而得到
3
c-2a
的取值范围.
解答:解:(I)由c2+a2-
3
ac=1
利用余弦定理可得 cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-1
2ac
=
3
2

∵0<B<π,∴B=
π
6

(II)由正弦定理可得,三角形外接圆的直径2r=
b
sinB
=2,
3
c-2a
=2
3
sinC-4sinA=2
3
sin(
6
-A)-4sinA=2
3
1
2
cosA+
3
2
sinA)-4sinA
=
3
cosA-sinA=2cos(A+
π
6
).
∵0<A<
6
,∴
π
6
<A+
π
6
<π,
∴-1<cos(A+
π
6
)<
3
2

∴-2<2cos(A+
π
6
)<
3

3
c-2a
的取值范围为(-2,
3
).
点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,两角和的正弦、余弦公式,求三角函数的最值,属于中档题.
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