题目内容
已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2
cos2ωx-
（a＞0，ω＞0）d的最大值为2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为
．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴；
（2）若f（a）=
，求sin（4a+
）的值．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 2 |
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴；
（2）若f（a）=
| 4 |
| 3 |
| π |
| 6 |
分析：（1）利用二倍角公式化简函数，结合x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为
，可知f（x）的周期为π，从而可求ω的值，根据最大值为2，可求a的值，从而可得函数的解析式，即可求出函数的对称轴；
（2）先求出sin（2a+
），再利用二倍角公式，即可求得sin（4a+
）的值．
| π |
| 2 |
（2）先求出sin（2a+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）f（x）=2asinωxcosωx+2
cos2ωx-
=asinωx+
cos2ωx，
由题意，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为
，
∴f（x）的周期为π，
∴
=π，∴ω=1…（2分）
∵f（x）最大值为2，
∴
=2，
∵a＞0，∴a=1…（4分）
∴f（x）=2sin（2x+
）…（5分）
令2x+
=
+kπ，解得f（x）的对称轴为x=
+
（k∈Z）------------（7分）
（2）由f（a）=
知2sin（2a+
）=
，即sin（2a+
）=
，…（8分）
∴sin（4a+
）=sin[2（2a+
）-
]=-cos[2（2a+
）]=-1+2sin22（2a+
）=-1+2×(
)2=-
…（12分）
| 3 |
| 3 |
| 3 |
由题意，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为
| π |
| 2 |
∴f（x）的周期为π，
∴
| 2π |
| 2ω |
∵f（x）最大值为2，
∴
| a2+3 |
∵a＞0，∴a=1…（4分）
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
令2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| kπ |
| 2 |
（2）由f（a）=
| 4 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴sin（4a+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
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