Question

如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求点到平面的距离；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明略；

（Ⅱ）点到平面的距离为；

（Ⅲ）二面角的大小是.

解析:

（Ⅰ）证明：连结、、、，

∵、分别是棱、的中点，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得＝＝＝，∴四边形是菱形，∴．　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）解：在面上的射影是，，∴．

∵、分别是棱、的中点，∴∥，∴．

由（Ⅰ）有，与是平面内两相交直线，∴平面．

设，则，即点到平面的距离等于．

（Ⅲ）解：取的中点，连结、，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得＝，∴，由（Ⅱ）有平面，∴是二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　   

在中，，，

∴．　　　　　　　　　　　

在中，，，∴．

∴　二面角的大小是．