Question

某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.
（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

Answer 1

（1）
（2）
（3）当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68

解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为由题设有
期中均为1到200之间的正整数.
（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为
易知，为减函数，为增函数.注意到
于是
（1）当时， 此时
，
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得
.由于
.
故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.
（2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则.
由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于
此时完成订单任务的最短时间大于.
（3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，
当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时
完成订单任务的最短时间为，大于.
综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数
分别为44,88,68.
【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想