Question

已知定义域为R⁺、值域为R的函数f(x)，对于任意x、y正R⁺总有f(xy)=f(x)+f(y)．当x＞1时，恒有f(x)＞0．

(1)求证：f(x)必有反函数；

(2)设f(x)的反函数是f^-1(x)，若不等式f^-1(-4^x+k·2^x-1)＜1对任意的实数x恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

(1)令x=y=1得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0

令y=，得f(1)=f(x)+f()，

∴f()=-f(x)

在R⁺内任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，

则f()=f(x₂)+f() =f(x₂)-f(x₁)

∵＞1，∴f()＞0，∴f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在定义域内为单调增函数．

故f(x)一定存在反函数．

(2)由(1)知f(x)在定义域内为单调增函数，f^-1(-4^x+k·2^x-1)，1在f(x)的定义域中，所以原不等式等价于f[f^-1(-4^x+k·2^x-1]＜f(1)，恒成立

即-4^x+k·2^x-1＜0，k＜2^x+恒成立

∵2^x+的最小值为2     ∴k＜2．