Question

17．已知点M（4，-4）在抛物线C：y²=2px上，直线l与C交于A，B，求其准线上是否有存在一点N，使四边形AMBN为菱形．

Answer 1

分析 把M坐标代入抛物线方程，求得p值，则抛物线方程可求，然后设直线l的方程为y=kx+b，由菱形对角线的性质求出满足条件的k和b的值，直线方程可求，且N的坐标可求．

解答 解：由点M（4，-4）在抛物线C：y²=2px上，得
（-4）²=8p，即p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，
如图，
设直线l方程为y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中点为P（x₀，y₀），
∵A，B在抛物线y²=4x上，
∴${{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}，{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}$，作差得：${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}={x}_{1}-{x}_{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{1}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，即$k=\frac{1}{2{y}_{0}}$，${y}_{0}=\frac{1}{2k}$，
则${x}_{0}=\frac{{y}_{0}-b}{k}=\frac{\frac{1}{2k}-b}{k}=\frac{1-2kb}{2{k}^{2}}$．
∴AB的中点坐标为（$\frac{1-2kb}{2{k}^{2}}，\frac{1}{2k}$），
又M（4，-4），
若抛物线准线上存在点N，使四边形AMBN为菱形，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{N}+4=\frac{1}{k}}\\{{y}_{N}-4=\frac{1-2kb}{{k}^{2}}}\end{array}\right.$，得N（$\frac{1}{k}-4，\frac{1-2kb}{{k}^{2}}+4$），
N需满足$\frac{1}{k}-4=-1$，即$k=\frac{1}{3}$，此时N（-1，13-6b），
且$\frac{1}{3}{k}_{MN}=-1$，即$\frac{1}{3}•\frac{-4-13+6b}{4-（-1）}=-1$，解得：b=$\frac{1}{3}$．
∴当直线l为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$时，直线l与C交于A，B，其准线上存在一点N（-1，11），使四边形AMBN为菱形．

点评 该题考查抛物线的方程性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力及运算求解能力，是中档题．