题目内容
【题目】已知椭圆:
的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。
(1)求的方程;
(2)设为
的左焦点,
为直线
上任意一点,过点
作
的垂线交
于两点
,
.
(i)证明:平分线段
(其中
为坐标原点);
(ii)当取最小值时,求点
的坐标。
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)由已知,根据椭圆的焦距为8,其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形,求得的值,即可求得椭圆的方程;
(2)(ⅰ)设点的坐标为
,验证当
时,
平分
显然成立;当
由直线
的方程和椭圆的方程联立方程组,求解
中点
的坐标,即可得到结论;
(ⅱ)由(ⅰ)可知,求得和
,得到
,利用基本不等式,即可求解.
(1)由已知,得. 因为
,易解得
.
所以,所求椭圆的标准方程为
(2)设点
的坐标为
当时,
与
轴垂直
为
的中点
平分
显然成立
当由已知可得:
则直线
的方程为:
设
消去
得:
,
中点
的坐标为
又在直线
上.
综上平分线段
当
时,
则
当时,由
可知
(当且仅当,即
时等号成立),
∴点的坐标为
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