Question

“1＜a≤2”是“函数f(x)=

1

2

x2-9lnx在区间[a-1，a+1]上单调递减”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：求函数的导数，确定函数的单调递减，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f'（x）=x-

9

x

=

x2-9

x

，
由f'（x）=

x2-9

x

≤0，
解得0＜x≤3，
即函数的递减区间为（0，3]，
要使函数f（x）在[a-1，a+1]上单调递减，
则

a-1＞0 a+1≤3

，即

a＞1 a≤2

，即1＜a≤2，
∴“1＜a≤2”是“函数f(x)=

1

2

x2-9lnx在区间[a-1，a+1]上单调递减”的充要条件．
故选：C．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用导数求出函数的单调递减区间是解决本题的关键．