Question

集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若B⊆A，则说明B是A的子集，需要注意集合B=∅的情形．
（2）需要知道集合中元素的具体个数，然后套用子集个数公式：2ⁿ
（3）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，则说明A与B交集为空集．

解答：解：（1）当m+1＞2m-1，即m＜2时，B=∅满足B⊆A．
当m+1≤2m-1，即m≥2时，要使B⊆A成立，
需

m+1≥-2 2m-1≤5

，可得-3≤m≤3，
综上，m≤3时有B⊆A．

（2）当x∈Z时，A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，
求A的非空真子集的个数，即不包括空集和集合本身，
所以A的非空真子集个数为2⁸-2=254．

（3）因为x∈R，且A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，
则①若B=∅，即m+1＞2m-1，得m＜2时满足条件；
②若B≠∅，则要满足的条件是

m+1≤2m-1 m+1＞5

或

m+1≤2m-1 2m-1＜-2

，
解得m＞4．
综上，有m＜2或m＞4．

点评：若B⊆A，需要注意集合B能否是空集，必要时要进行讨论；
当一个集合里元素个数为n个时，其子集个数为：2ⁿ，真子集个数为：2ⁿ-1．