题目内容
9.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且f(x•y)=f(x)+f(y)(1)求f(1);
(2)证明:f(x)在定义域上是增函数;
(3)如果f($\frac{1}{3}$)=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围.
分析 (1)由f(x•y)=f(x)+f(y),知f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),由此能求出f(1).
(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$>1,故f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)>0,由此导出f(x1)-f(x2)=f(x1)-f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x1)=-f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)<0,从而能够证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)令x=$\frac{1}{3}$,y=1,得f(1)=0.令x=3,y=$\frac{1}{3}$,得f(3)=1.令x=y=3,得f(9)=2,故f(x)-f(x-2)≥f(9),f(x)≥f(9x-18),由此能求出x的范围.
解答 (1)解:∵f(x•y)=f(x)+f(y),
∴f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.
(2)证明:设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$>1,
∴f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)>0,
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)-f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x1)=f(x1)-f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)-f(x1)=-f($\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$)<0
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解:令x=$\frac{1}{3}$,y=1得,f($\frac{1}{3}$×1)=f($\frac{1}{3}$)+f(1),∴f(1)=0.
令x=3,y=$\frac{1}{3}$得,f(1)=f(3×$\frac{1}{3}$)=f(3)+f($\frac{1}{3}$),
∵f($\frac{1}{3}$)=-1,∴f(3)=1.
令x=y=3得,f(9)=f(3)+f(3)=2,
∴f(x)-f(x-2)≥f(9),f(x)≥f(9x-18)
∴$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{x-2>0}\\{x≥9x-18}\end{array}\right.$,
解得2<x≤$\frac{9}{4}$.
点评 本题考查抽象函数的性质和应用,综合性强,难度大,对数学思维的要求较高,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
A. | (-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$) | B. | (-2,2) | C. | (0,2) | D. | (-∞,-2),(2,+∞) |