Question

已知二次函数 f(x)=ax²+bx+c(a、b、c∈R)满足f(1)=1且f(-1)=0,对于任意实数x,都有f(x)≥x.

(1)证明a＞0,c＞0；

(2)设函数g(x)=f(x)-mx(x∈R),求m的取值范围,使函数g(x)在区间［-1,1］上是单调函数.

Answer 1

思路分析：二次函数g(x)在［-1,1］上是单调函数,即g(x)图象的对称轴在［-1,1］的两侧.

(1)证明:由即

∴a+c=b=.

∵f(x)-x≥0对x∈R都成立,

即ax²-x+c≥0恒成立,

∴a＞0且Δ=-4ac≤0.

∴ac≥.

又a＞0,∴c＞0.

(2)解析：∵a+c≥2,∴ac≤.

又由(1)得ac≥,∴ac=.

∴a=c=.

∴f(x)=x²+x+,

g(x)=f(x)-mx=［x²+(2-4m)x+1］.

要使g(x)在［-1,1］上为单调函数,只要|-|≥1,

∴m≥1或m≤0.

温馨提示

    二次函数在区间［a,b］上单调,对称轴x=x₀必须在区间的两侧,即(x₀-a)(x₀-b)＞0.