Question

已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过抛物线C：x²=4y的焦点F．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过坐标平面上的点F'作拋物线c的两条切线l₁和l₂，它们分别交拋物线C的另一条切线l₃于A，B两点．
（i）若点F′恰好是点F关于-轴的对称点，且l₃与拋物线c的切点恰好为拋物线的顶点（如图），求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F′的位置，或切线l₃的位置，或抛物线C的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆的离心率为，可得，=，根据椭圆过抛物线C：x²=4y的焦点F．可知点F（0，1）满足椭圆方程，再根据a²=b²+c²，即可求出a，b，c，得出椭圆方程．
（II）（i）只要能求出△ABF′的外接圆方程，再验证点F是否在圆上，命题就得证．可先求出三条切线方程，分别联立，求三条切线交点，再利用待定系数法求△ABF′的外接圆方程，最后，把F点坐标代入，看是否满足方程即可．
（ii）命题可写出几个，选最好证明的写，不妨写成：设F^′为抛物线外一点，若过点F'作拋物线c的两条切线l₁和l₂，分别交拋物线C的另一条切线l₃于A，B两点，则：△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F．仿照（i），把三条切线方程设出，分别联立，求三个交点坐标，再证，F^′，A，B，F四点共圆，来证明命题．
解答：解：（I）由已知得F（0，1），设椭圆方程为（a＞b＞0），则，b=1
椭圆的离心率为，可得，=，又∵a²=b²+c²，∴a=2，c=
∴椭圆方程为
（II）（i）依题意，点F^′的坐标为（0，-1），过点F'且与拋物线c相切的直线斜率存在，
设其方程为y=kx-1．代入抛物线方程，消y，得x2-4kx+4=0，令△=0，得k=±1
则切线l₁和l₂方程分别为y=x-1和y=-x-1，又∵且l₃与拋物线c的切点恰好为拋物线的顶点．
∴l₃的方程为y=0．
由，得点A坐标为（1，0）
由，得点B坐标为（-1，0）
设△ABF^′′的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+4F=0，则，解得
∴设△ABF^′′的外接圆方程为x²+y²=1
：△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F．
（ii）使（i）中的结论成立的命题为：设F^′为抛物线外一点，若过点F'作拋物线c的两条切线l₁和l₂，分别交拋物线C的另一条切线l₃于A，B两点，则△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F．
证明：不妨设拋物线方程为x²=2py，l_i分别与抛物线交于点P_i（x_i，y_i）（i=1，2，3）
依题意，x₁，x₂，x₃中至少有两个不为0，不妨设x₁≠0，x₂≠0．
∵故切线l_i的方程为y-y_i=（x-x_i），i=1，2，3
由，得F^′（，）
 由    得A（  ，）                  
   ，得B（  ，）
∴AF^′的垂直平分线方程为y-=-（x-），
    BF^′ 的垂直平分线方程为 y-=-（x-）
它们的交点为M（，）
又∵F（0，），AF的中点为N（，）
从而  =（ ，），=（ ，）
 =（）+•=0  
∴，∴AF^′，BF^′AF的垂直平分线教育一点M圆上，即△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F．
点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，题目较难，须认真考虑．