题目内容
【题目】如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直,AB= ,AF=1,G为线段AD上的任意一点.
(1)若M是线段EF的中点,证明:平面AMG⊥平面BDF;
(2)若N为线段EF上任意一点,设直线AN与平面ABF,平面BDF所成角分别是α,β,求 的取值范围.
【答案】
(1)证明:设AC∩BD=O,连结OF,OM,
由已知得AO=1,AF=1,
∴四边形AFMO是正方形,∴AM⊥OF,
又∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,交线是CA,DB⊥CA,
∴DB⊥平面ACEF,又AM平面ACEF,∴DB⊥AM,
∵BD∩OF=O,∴AM⊥平面BDF,
∵AM平面AMG,∴平面AMG⊥平面BDF
(2)解:∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,交线是CA,EC⊥CA,
∴EC⊥平面ABCD,∴CD、CB、CE两两垂直,
分别以CD、CB、CE为x,y,z轴建立坐标系,
则平面ABF的法向量 =(0,1,0),
由(1)得平面BDF的法向量 = =(﹣ ,﹣ ,1),
由N为线段EF上任意一点,
设 = = =λ( ),(λ∈[0,1]),
∴ =((λ﹣1) ,(λ﹣1) ,1),
∴sinα= = = ,
∵λ∈[0,1],∴ = =1﹣ ∈[0, ].
【解析】(1)设AC∩BD=O,连结OF,OM,推导出AM⊥OF,DB⊥CA,从而DB⊥平面ACEF,进而DB⊥AM,AM⊥平面BDF,由此能证明平面AMG⊥平面BDF.(2)分别以CD、CB、CE为x,y,z轴建立坐标系,利用向量法能求出 的取值范围.
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.