题目内容
【题目】如图, 是圆柱的母线,
是
的直径,
是底面圆周上异于
的任意一点,
,
.
(1)求证:
(2)当三棱锥 的体积最大时,求
与平面
所成角的大小;
(3) 上是否存在一点
,使二面角
的平面角为45°?若存在,求出此时
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:∵ 平面
,
平面
∴ ,又
,
∴ 平面
又∵ 平面
,
∴平面 平面
,
而平面 平面
,
∴ 平面
,而
平面
,
∴
(2)解:设 ,在
中,
∵ 平面
,
∴ 是三棱锥
的高
因此三棱锥 的体积为
∵ ,
,
∴当 ,即
时,三棱锥
体积的最大值为
此时 为等腰直角三角形,
∴ 与平面
所成角度为45°
(3)解:存在这样的点 且
,理由如下:
记 的中点为
,连接
,
∵ 为等腰直角三角形
∴ ,由(1)知
,
∴ 平面
,
又 平面
,∴
∴ 是二面角
的平面角,即
为等腰直角三角形,
,
∴
在 中,
在 和
中,可解得
,
【解析】(1)根据圆的直径所对圆周角为直角,以及SA与平面ABC垂直的性质,得到直线BC与平面SAC垂直,证明平面SBC与平面SAC垂直,再利用线面垂直的性质证明结论。
(2)设 AC=x ,用x表示出三棱锥S-ABC的体积,利用二次函数的最值问题,求出结果。
(3)取SB的中点E,分别连接AE,DE,根据AD与平面SBC垂直,AD与SB垂直,证明SB与平面ADE垂直,证明 是二面角 A-SB-C 的平面角,求出结果。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.
转速x(转/秒) | 16 | 14 | 12 | 8 |
每小时生产有缺损零件数y(个) | 11 | 9 | 8 | 5 |
(1)作出散点图;
(2)如果y与x线性相关,求出回归直线方程;
(3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?