题目内容
【题目】已知函数.
求
的单调区间;
Ⅱ
证明:
其中e是自然对数的底数,
.
【答案】(1)的单调递减区间为
或
,无递增区间;(2)见解析
【解析】
(Ⅰ)定义域是,
.令
.则
对与0的大小,分类讨论,即可得出
的最值,再与0比较大小得出
单调性.
(Ⅱ)即
,
,分
和
2种情况
研究新构造函数的单调性,即可得出.
Ⅰ
根据题意,函数
,其定义域为
;
其导数,令
,则
,
分析可得:在上,
,
为增函数,
在上,
,
为减函数;则
,
则有,即函数
在其定义域上为减函数,
则的单调递减区间为
或
,无递增区间;
Ⅱ
证明:
即
,
;
分2种情况:
,
时,
,
令,则
,
令,
则,
,
,
,
故在
上单调递增,故
,
故在
上单调递增,
于是,所以
,
所以在
上单调递增,
因此,时,
,即
,
下面证明
时的情况:
令,
,故
在
上单调递增,
于是时,
,即
,
,
令,则
,故
在
上单调递增,
故时,
,即
,
.
综上所述:.
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