Question

8．与$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同渐近线方程且过点P（$\sqrt{6}，2$）的双曲线标准方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 与$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同渐近线方程可设为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=λ（λ≠0），代入点P（$\sqrt{6}，2$），解方程，即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：与$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同渐近线方程可设为：
$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=λ（λ≠0），
代入点P（$\sqrt{6}，2$），可得
$\frac{6}{9}$-$\frac{4}{4}$=λ，即λ=-$\frac{1}{3}$，
则所求双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意共渐近线方程的双曲线的方程的设法，考查运算能力，属于中档题．