题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若恒成立,证明:当
时,
.
【答案】(Ⅰ)当时,
在
上递增;当
时,
单调递增;当
时,
单调递减;(Ⅱ)证明过程详见解析.
【解析】
试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法,突出考查分类讨论思想和综合分析问题和解决问题的能力.第一问是利用导数研究函数的单调性,但是题中有参数,需对参数
进行讨论,可以转化为含参一元一次不等式的解法;第二问先是恒成立问题,通过第一问的单调性对
进行讨论,通过求函数的最大值求出符合题意的
,表达式确定后,再利用函数的单调性的定义,作差,放缩法证明不等式.
试题解析:(Ⅰ).
若,
,
在
上递增;
若,当
时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减. 5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若,
在
上递增,
又,故
不恒成立.
若,当
时,
递减,
,不合题意.
若,当
时,
递增,
,不合题意.
若,
在
上递增,在
上递减,
符合题意,
故,且
(当且仅当
时取“
”). 8分
当时,
,
所以. 12分
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