Question

已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x=时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）对x分类讨论，利用导数研究其单调性、极值与最值即可得出；
（2）构造函数令，利用导数研究其单调性与极值即可得出；
（3）利用斜率计算公式和导数的几何意义即可得出关于t=的关系式，再利用（2）的结论即可判断出是否存在．
解答：解：（1），
令f′（x）＞0得x∈（1，e）；f′（x）＜0得x∈（0，1）．
∴f′（x）在（0，1]上单减，在[1，e）上单增；
．
∴f（x）在[e，+∞）单调递增．
故f（x）_min=f（1）=3．
（2）
令，
，
因为x≥1，显然g'（x）≥0，所以g（x）在[1，+∞）上递增，
显然有g（x）≥g（1）=2恒成立．（当且仅当x=1时等号成立），即证．      
（3）当x≥e时，f（x）=x²+2（lnx-1），，假设函数f（x）存在“中值伴侣切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则，．
故直线AB的斜率：=．
曲线在点M（x，y）处的切线斜率：
k=f′（x）==．
依题意得：=
化简可得：，即=．
设，上式化为，由（2）知t＞1时，恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值伴侣切线”．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、导数的几何意义、分类讨论思想方法、斜率的计算公式、问题等价转化等是解题的关键．