Question

6．函数y=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）的反函数是y=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），（x∈R）．

Answer 1

分析 本题考查求反函数的方法，目标明确，思路清晰，下手容易，但要解出x，不是很简单，需要在等式的两侧同乘2^x，使原函数的解析式变为关于2^x的二次方程，然后先解出2^x再利用指对互化解出x

解答 解：依题意，由y=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）两边同乘2^x得：
（2^x）y=$\frac{1}{2}$[（2^x）²-1]，即（2^x）²-2y•2^x-1=0，
解得：2^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$，或2^x=y-$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
∵e^x＞0，
∴2^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
由此得：x=log₂（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）
∴函数y=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）的反函数是y=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），（x∈R），
故答案为：y=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），（x∈R）

点评 本题思路简捷，但解方程y=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）得x的过程是个难点，本题通过两侧同乘2^x，使原函数的解析式变为关于2^x的二次方程，方法自然，也是熟悉的路子，得出2^x后注意利用2^x＞0舍去不满足条件的式子．