题目内容

我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．
第1列 第2列 第3列 … 第n列
第1行 1 1 1 … 1
第2行 q
第3行 q2
… …
第n行 qn-1
（1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格；
（2）试用n、q表示第二列的各数之和；
（3）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，若c1，c2，c3成等比数列，试求q的值；能否找到q的值，使得数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，c3，…，cm（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
分析：（1）按照规定的要求，依次填写即可．
（2）由（1）S=1+（1+q）+（1+q+q2）+…+（1+q+…+qn-1），各项利用等比数列的前n项和公式化简，再求和．
（3）可知c1=1，c2=2+q，c3=3+2q+q2，c1，c2，c3成等比数列求出q=-
1
2
，c4=4+3q+2q2+q3得知c4=
23
8
，而
c4
c3
=
23
8
9
4
≠
3
2
，所以对于任意的m≥4，c1，c2，c3，…，cm一定不是等比数列．
解答：解：（1）如表…（3分）
第1列 第2列 第3列 … 第n列
第1行 1 1 1 … 1
第2行 q 1+q 2+q （n-1）q
第3行 q2 1+q+q2
… …
第n行 qn-1 1+q+…qn-1
（2）S=1+（1+q）+（1+q+q2）+…+（1+q+…+qn-1）
当q=1时，S=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
   
 当q≠1时，1+q+…+qn-1=
1-qn
1-q

S=
n-(q1+q2+…+qn)
1-q
=
n
1-q
-
qn-qn+1
(1-q)2

所以综上可知Sn=
n(n+1)
2
q=1
n
1-q
-
qn-qn+1
(1-q)2
q≠1

（3）可知c1=1，c2=2+q，c3=3+2q+q2
由c22=c1c3⇒q=-
1
2
，则c1=1，c2=
3
2
，c3=
9
4

若m≥3时，c1，c2，c3，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列
由上可知此时q=-
1
2
，又 c4=4+3q+2q2+q3得知c4=
23
8

而
c4
c3
=
23
8
9
4
≠
3
2
，所以对于任意的m≥4，c1，c2，c3，…，cm一定不是等比数列
综上所述，当且仅当m=3且q=-
1
2
时，数列c1，c2，c3，…，cm是等比数列．
点评：本题主要考查等比数列的定义、判断、数列求和．考查阅读、计算、分析解决问题的能力．
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（2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
第1列 第2列 第3列 … 第n列
第1行 1 1 1 … 1
第2行 q
第3行 q2
… …
第n行 qn-1
（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+…+Bn的值；
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．
我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．
第1列 第2列 第3列 … 第n列
第1行 1 1 1 … 1
第2行 q
第3行 q2
… …
第n行 qn-1
（1）按照填写规则，请在上述表格内填写第二行的空格以及第二列的空格；
（2）试用n、q表示第二列的各数之和；
（3）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，若c1，c2，c3成等比数列，试求q的值；能否找到q的值，使得数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，c3，…，cm（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．

21.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.

 

第1列

第2列

第3列

…

第列

第1行

1

1

1

…

1

第2行

 

 

 

 

第3行

 

 

 

 

…

…

 

 

 

 

第行

 

 

 

 

(1) 设第2行的数依次为，试用表示的值；

(2) 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；

(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.

    ① 能否找到的值，使得(2) 中的数列的前项 () 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.

    ② 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.
我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
第1列第2列第3列…第n列
第1行111…1
第2行q
第3行q2
……
第n行qn-1
（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+…+Bn的值；
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

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