题目内容
我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
| 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
| 第2行 | q | ||||
| 第3行 | q2 | ||||
| … | … | ||||
| 第n行 | qn-1 |
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．
【答案】分析：（1）根据题意分别求出B1、B2，利用归纳法求出Bn，再由分组求和法求出和式的值；
（2）根据题意分别求出c1，c2，c3，再进行作差：c1+c3-2c2，化简后判断出符号，即得证；
（3）①先设c1，c2，c3成等比数列求出公比q，再去检验
是否为q，求出m和q；
②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．
解答：解：（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，
B3=1+（1+q）=2+q，…，Bn=（n-1）+q，
∴B1+B2+…+Bn=1+2+…+（n-1）+nq=
．
（2）由题意得，c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，
，
由
，
即 c1+c3＞2c2．
（3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由
得，
3+2q+q2=（2+q）2，
．
此时 c1=1，
，
∴c1，c2，c3是一个公比为
的等比数列．
如果m≥4，c1，c2，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．
由上所述，此时
，
，
，
由于
，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，cm一定不是等比数列．
综上所述，当且仅当m=3且
时，数列c1，c2，…，cm是等比数列．
②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则
，
若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则
由
，得
，
，
，
同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则
．
当k≠m时，
．
所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．
点评：本题考查了等比和等差数列的通项公式、前n项和公式以及性质的应用，考查了分析问题和解决问题的能力．
（2）根据题意分别求出c1，c2，c3，再进行作差：c1+c3-2c2，化简后判断出符号，即得证；
（3）①先设c1，c2，c3成等比数列求出公比q，再去检验
是否为q，求出m和q；②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．
解答：解：（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，
B3=1+（1+q）=2+q，…，Bn=（n-1）+q，
∴B1+B2+…+Bn=1+2+…+（n-1）+nq=
．（2）由题意得，c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，
，由
，即 c1+c3＞2c2．
（3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由
得，3+2q+q2=（2+q）2，
．此时 c1=1，
，∴c1，c2，c3是一个公比为
的等比数列． 如果m≥4，c1，c2，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．
由上所述，此时
，，，由于
，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，cm一定不是等比数列．综上所述，当且仅当m=3且
时，数列c1，c2，…，cm是等比数列．②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则
，若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则
由
，得，，，同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则
．当k≠m时，
．所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．
点评：本题考查了等比和等差数列的通项公式、前n项和公式以及性质的应用，考查了分析问题和解决问题的能力．
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21.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为
的数列
依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第 |
第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
第2行 |
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第3行 |
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… | … |
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第 |
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列
行
(1) 设第2行的数依次为
，试用
表示
的值；
(2) 设第3列的数依次为
，求证：对于任意非零实数
，
；
(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.
① 能否找到
的值，使得(2) 中的数列
的前
项
(
) 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.
② 能否找到
的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.