题目内容

已知向量
a
=(sinx，-1)，
b
=(
3
cosx，-
1
2
)，函数f(x)=(
a
+
b
)•
a
-2
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a=2
3
，且f（A）=1，求A和△ABC面积的最大值．
分析：（1）用三角函数公式公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出值域．
（2）首先求出A，再利用余弦定理求得b2+c2=bc+12，结合面积公式求解．
解答：解：（1）f（x）=sin2x+1+
3
sinxcosx+
1
2
-2
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2

=
3
2
sin2x-
1
2
cosx
=sin（2x-
π
6
）
所以f（x）的值域为[-1，1]．
（2）f（A=sin（2A-
π
6
）=1，所以2A-
π
6
=
π
2
+2kπ，A=
π
3
+kπ．
因为A为三角形内角，所以A=
π
3
．
由a2=b2+c2-2bccosA，b2+c2=bc+12
b=c=2
3
时取等号
此时S△ABC=
1
2
bcsinA=3
3
所以△ABC面积的最大值为3
3
点评：本题考查正弦函数的单调性以及三角形的面积公式，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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