Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知

p

=(-1，2)，A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），其中0≤θ≤

π

2

（1）若

AB

⊥

p

，且|

AB

|=

5

|

OA

|，求向量

OB

；
（2）若向量

AC

∥

p

，当k为大于4的某个常数时，tsinθ取最大值4，求此时

OA

与

OC

夹角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由A（8，0），B（n，t），我们可求出

AB

的坐标，然后根据

AB

⊥

p

，及|

AB

|=

5

|

OA

|我们要以构造关于n，t的方程，解方程即可求出满足条件的向量

OB

；
（2）由A（8，0），C（ksinθ，t），我们可以求出

AC

的坐标，然后根据向量

AC

∥

p

，结合tsinθ的最大值4，我们易求出此时

OA

与

OC

夹角的正切值．

解答：解（1）

AB

=(n-8，t)（2分）

AB

⊥

p

AB

•

p

=-(n-8)+2t=0，n-8=2t（1）
|

AB

|=

5

|

OA

|，（n-8）²+t²=5×64=320（2）
（1）代入（2）得5t²=5×64
∴t=±8当t=8时n=24；
当t=-8时，n=-8
∴

OB

=(24，8)或（-8，-8）（8分）
（2）

AC

=(ksinθ-8，t)

AC

∥

p

（ksinθ-8）•2=-t（10分）
tsinθ=-2(ksinθ-8)sinθ=2(-ksin2θ+8sinθ)=-2k(sinθ-

4

k

)2+

32

k

∵k＞4∴0＜

4

k

＜1
∴sinθ=

4

k

时，(tsinθ)max=

32

k

=4
k=8此时，sinθ=

1

2

θ=

π

6

（13分）
此时

OA

=(8，0)

OC

=(4，8)

OA

•

OC

=|

OA

||

OC

|cosα=8•4

5

cosα=32
故cosα=

1

5

，sinα=

2

5

，tanα=2（16分）

点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，向量的模，数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量的平行关系，根据两个向量平行，坐标交叉差为零，两个向量垂直，坐标对应之积和为零，构造方程是解答本题的关键．