Question

12．△ABC的三边长a，b，c．且a+b+c=1．证明：5（a²+b²+c²）+18abc≥$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 通过变形、化简可知5（a²+b²+c²）+18abc=$\frac{205}{81}$-18（$\frac{5}{9}$-a）（$\frac{5}{9}$-b）（$\frac{5}{9}$-c），通过$\frac{5}{9}$-a＞0、$\frac{5}{9}$-b＞0、$\frac{5}{9}$-c＞0，及均值不等式计算即得结论．

解答 证明：5（a²+b²+c²）+18abc
=5[（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）]+18abc
=5[1²-2（ab+bc+ca）]+18abc
=5+18[abc-$\frac{5}{9}$（ab+bc+ca）]
=5+18[（a-$\frac{5}{9}$）（b-$\frac{5}{9}$）（c-$\frac{5}{9}$）-$（\frac{5}{9}）^{2}$+$（\frac{5}{9}）^{3}$]
=$\frac{205}{81}$-18（$\frac{5}{9}$-a）（$\frac{5}{9}$-b）（$\frac{5}{9}$-c），
∵a、b、c为三角形三边，且a+b+c=1，
∴$\frac{5}{9}$-a＞0，$\frac{5}{9}$-b＞0，$\frac{5}{9}$-c＞0，
利用均值不等式可知：$\frac{205}{81}$-18（$\frac{5}{9}$-a）（$\frac{5}{9}$-b）（$\frac{5}{9}$-c）
≥$\frac{205}{81}$-18•$（\frac{3•\frac{5}{9}-a-b-c}{3}）^{3}$
=$\frac{205}{81}$-18•$（\frac{\frac{5}{3}-1}{3}）^{3}$
=$\frac{7}{3}$，
∴5（a²+b²+c²）+18abc≥$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用均值不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．