Question

下列四个命题中正确的有

 

①函数y=x-

3

2

的定义域是{x|x≠0}；
②lg

x-2

=lg（x-2）的解集为{3}；
②3^1-x-2=0的解集为{x|x=1-log₃2}；
④lg（x-1）＜1的解集是{x|x＜11}．

Answer 1

分析：①函数y=x-

3

2

可化为：y=

1

x3

，根据负数没有平方根得到x的范围，即可判断此命题正确与否；
②根据对数函数的单调性，得到

x-2

=x-2，两边平方得到一个一元二次方程，求出方程的解，又x-2大于等于0，经判断得到满足题意的解，即可作出判断；
③根据对数函数的定义即可得到方程的解，即可作出判断；
④根据对数函数的底数10大于1，得到此对数函数为增函数，然后把“1”变为lg10，根据对数函数的增减性得到关于x的不等式，求出不等式的解集，同时考虑对数函数的定义域得x-1大于0，求出解集，求出两解集的交集即可得到原不等式的解集，即可作出判断．

解答：解：①函数y=x-

3

2

中x的范围为：x＞0，所以定义域为{x|x＞0}，此选项错误；
②由lg

x-2

=lg(x-2)，得到

x-2

=x-2，
两边平方得：x-2=x²-4x+4，
即x²-5x+6=0，即（x-2）（x-3）=0，
解得x=2或x=3，经过检验x=2不合题意，舍去，所以x=3，此选项正确；
③3^1-x-2=0可变为：1-x=log₃²，解得x=1-log₃²，此选项正确；
④lg（x-1）＜1可变为：lg（x-1）＜lg10，
由底数10＞1，得到对数函数为增函数，
所以得到：0＜x-1＜10，解得：1＜x＜10，此选项错误，
所以四个命题正确有：②③．
故答案为：②③

点评：此题考查了幂函数的定义域，对数函数的定义域及单调性，以及考查了对数函数的定义，是一道综合题．