题目内容
（2013•辽宁）（选修4-5不等式选讲）
已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
已知函数f（x）=|x-a|，其中a＞1
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．
分析：（1）当a=2时，f（x）≥4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|≥4，直接求出不等式|x-2|+|x-4|≥4的解集即可．
（2）设h（x）=f（2x+a）-2f（x），则h（x）=
．由|h（x）|≤2解得
≤x≤
，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值．
（2）设h（x）=f（2x+a）-2f（x），则h（x）=
|
| a-1 |
| 2 |
| a+1 |
| 2 |
解答：解：（1）当a=2时，f（x）≥4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|≥4，
当x≤2时，得-2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x-6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．
（2）设h（x）=f（2x+a）-2f（x），则h（x）=
由|h（x）|≤2得
≤x≤
，
又已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以
，
故a=3．
当x≤2时，得-2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x-6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}．
（2）设h（x）=f（2x+a）-2f（x），则h（x）=
|
由|h（x）|≤2得
| a-1 |
| 2 |
| a+1 |
| 2 |
又已知关于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以
|
故a=3．
点评：本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．
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