题目内容
已知在空间四边形ABCD中，AB=CD=3，点E、F分别是边BC和AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=
，求异面直线AB和CD所成角的大小．
| 7 |
分析：在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，可证∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角，在△EFG中由余弦定理可得，∠EGF=120°，可得答案．
解答：
解：（如图）在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，
在△BCD中，可得
=
，故有EG∥DC，
同理在△ABD中，可得GF∥AB，
所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角，
在△BCD中，由GE∥CD，CD=3，
=
，得EG=1，
在△ABD中，由FG∥AB，AB=3，
=
，得FG=2，
在△EFG中，由EG=1，FG=2，EF=
，由余弦定理可得，
cos∠EGF=
=-
，所以∠EGF=120°，
所以异面直线AB和CD所成角为60°
解：（如图）在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，在△BCD中，可得
| BG |
| GD |
| BE |
| EC |
同理在△ABD中，可得GF∥AB，
所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角，
在△BCD中，由GE∥CD，CD=3，
| EG |
| CD |
| 1 |
| 3 |
在△ABD中，由FG∥AB，AB=3，
| FG |
| AB |
| 2 |
| 3 |
在△EFG中，由EG=1，FG=2，EF=
| 7 |
cos∠EGF=
| EG2+FG2-EF2 |
| 2EG•FG |
| 1 |
| 2 |
所以异面直线AB和CD所成角为60°
点评：本题考查异面直线所成的角，涉及余弦定理的应用，属中档题．
练习册系列答案
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已知在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且BG：GC=DH：HC=2：1，则EG、FH、AC的位置关系是（ ）| A、两两异面 | B、两两平行 | C、交于一点 | D、两两相交 |
（2011•顺义区一模）如图，已知在空间四边形ABCD中，AB=AC=DB=DC，E为BC的中点．
