Question

如图，已知在空间四边形ABCD中，AB=AC=DB=DC，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=5，BC=6，AD=4，求几何体ABCD的体积；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若G为△ABD的重心，试问在线段BC上是否存在点F，使GF∥平面ADE？若存在，请指出点F在BC上的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由等腰三角形“三线合一”，可证出AE⊥BC且DE⊥BC，再用线面垂直的判定定理可证出BC⊥平面ADE，从而得到平面ADE⊥平面ABC；
（II）根据题意可算出△ADE是边长为4的等边三角形，再结合BC⊥平面ADE，即可算出几何体ABCD的体积；
（III）记AD的中点为H，在BC上取一点F，使BF=2，连接GF、EH．根据三角形重心的性质得到线段成比例，从而GF∥EH，最后利用线面平行的判定得到GF∥平面ADE，
从而在BC上存在一点F，使GF∥平面ADE．
解答：解：（Ⅰ）∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，---（1分）
同理DE⊥BC，
又∵AE∩DE=E，AE、DE?平面ADE
∴BC⊥平面ADE，----（3分）
∵BC?平面ABC
∴平面ADE⊥平面ABC----（5分）
（Ⅱ）∵AB=5，∴AB=AC=DB=DC=5
∵BC=6，∴BE=3，Rt△ABE中，DE==4，同理AE=4，---（7分）
又∵AD=4，∴△ADE是边长为4的等边三角形，，
∵BC⊥平面ADE
∴四面体ABCD的体积V=．----（9分）
（Ⅲ）假设在BC上取一点F，使GF∥平面ADE．
记AD的中点为H，在BC上取一点F，使BF=2，则FE=1，…（11分）
连接GF、EH
∵G为△ABD的重心，H为AD中点
∴，∴GF∥HE；
又HE?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE，
故在BC上存在一点F，使BF=2，则有GF∥平面ADE…（13分）
点评：本题给出一个特殊四面体，叫我们证明面面垂直并求四面体的体积，着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明和锥体体积公式等知识，属于中档题．