题目内容
【题目】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且满足|A1N|＝3|NC1|.
(1)求MN的长；
(2)试判断△MNC的形状．
【答案】（1）
；（2）直角三角形
【解析】试题分析：（1）利用空间直角坐标系，根据向量的模求MN的长；（2）利用空间直角坐标系，根据向量数量积研究向量夹角，进而确定三角形形状
试题解析：(1)以D为原点，建立空间直角坐标系，并设正方体边长为a，则B(a，a,0)，D1(0,0，a)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a,0)，M(
a， a， a)，N(
a，
a，a)，
∴|MN|＝
＝ 
a.
(2)∵
＝(－a， a， a)，
＝(－a， a，－ a)，
＝(－a， a，－a)，
∴·＝
a2＋a2－a2＝0，∴MN⊥MC，∴△MNC是直角三角形．
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【题目】性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）
男 | 女 | 总计 | |
喜爱 | 40 | 60 | 100 |
不喜爱 | 20 | 20 | 40 |
总计 | 60 | 80 | 140 |
（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？
（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025%的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）
（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．
附：
p（k2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.705 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
k2= 
．
