题目内容

(本小题满分12分)点为椭圆内的一定点,过P点引一直线,与椭圆相交于两点,且P恰好为弦AB的中点,如图所示,求弦AB所在的直线方程及弦AB的长度。

解析试题分析:由于A,B两点是直线与椭圆的交点,故他们应满足椭圆方程,设出它们的坐标,然后根据它们的中点为M,可将坐标间的关系转化为求直线l的斜率,然后再由点斜式求出直线方程.利用两点距离公式得到弦的长度的求解。
解:设直线与椭圆交于,则…①且…②
②-①得,即
∴所求直线方程为:,即
将其代入椭圆方程整理得,,根据弦长公式有

考点:本题主要考查直线与椭圆的位置关系的运用。
点评:解决该试题的关键是求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.

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