题目内容

设直线l的方程为y+4=m（x-3），当m取任意的实数时，这样的直线必过一定点的坐标为
（3，-4）
（3，-4）
．
分析：根据直线方程当x=3时y+4=0，解得y=-4．由此可得直线必定经过定点（3，-4），得到答案．
解答：解：∵直线l的方程为y+4=m（x-3），当x=3时y+4=0，得y=-4
∴直线一定经过定点（3，-4）；
故答案为：（3，-4）
点评：本题给出直线方程，求直线经过的定点坐标．着重考查了直线的方程与点与直线的位置关系等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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（2007•长宁区一模）设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（ 
2
，0）．
（1）求双曲线方程；
（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示M点的坐标．
（3）设点Q（-1，0），求直线QM在y轴上截距的取值范围．
已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=1。
（Ⅰ）求圆心坐标及圆的半径长；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，求证：直线l与圆C必相交；
（Ⅲ）从圆外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为A，O为坐标原点，且有|PA|=|PO|，求点P的轨迹方程。
设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x2-y2=a2（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（ ，0）．
（1）求双曲线方程；
（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示M点的坐标．
（3）设点Q（-1，0），求直线QM在y轴上截距的取值范围．

已知中心在原点O，焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F1.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到，又因为，这样可知得到。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到

，再利用可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分

所以椭圆E的方程为…………………………4分

(Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分

 代入椭圆E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x1 +x2=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分

同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，

圆P的方程为（x+2）2+(y+1)2=4

 

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