题目内容

已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=1。
(Ⅰ)求圆心坐标及圆的半径长;
(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+2,求证:直线l与圆C必相交;
(Ⅲ)从圆外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为A,O为坐标原点,且有|PA|=|PO|,求点P的轨迹方程。

解:(Ⅰ)圆心坐标是(1,2),半径r=1;
(Ⅱ)联立
消去y,得(k2+1)x2-2x=0,
∴k2+1≠0,且△=(-2)2-4·(k2+1)·0=4>0,
∴直线l与圆C必相交;
(Ⅲ)∵切线PA与半径CA垂直,
∴|PA|2=|PC|2-|CA|2
又∵|PA|=|PO|,
∴|PA|2=|PO|2
即x2+y2=(x-1)2+(y-2)2-1,
整理,得x+2y-2=0,
∴点P的轨迹方程为x+2y-2=0。

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