Question

（2008•虹口区二模）（文）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；
（2）求异面直线PC与BD的夹角大小．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：∠PBD是PB与平面ABCD所成角，在△PDB中有BD=

2

，PD=3，进而求出∠PBD的正切值，即可得到答案．
（2）连接AC交BD于点O，取AP的中点为E，连接DE，OE，由题意可得OE∥PC，得到∠EOD与所求角相等或互补，在△OED中再利用解三角形的有关知识求出答案即可．

解答：解：（1）因为PD⊥平面ABCD，
所以∠PBD是PB与平面ABCD所成角．
因为正方形ABCD的边长为1，
所以BD=

2

，
所以在△PDB中，BD=

2

，PD=3，
所以tan∠PBD=

3

2

=

3 2

2

，
所以PB与平面ABCD所成角的大小为arctan

3 2

2

．
（2）连接AC交BD于点O，取AP的中点为E，连接DE，OE，

因为四边形ABCD为正方形，
所以点O为AC的中点，
又因为E为AP的中点，
所以OE∥PC，并且OE=

1

2

PC，
所以∠EOD与所求角相等或互补．
因为正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
所以PC=AP=

10

，OD=

2

2

，
所以OE=DE=

10

2

．
在△OED中，cos∠EOD=

OD2+OE2-DE2

2×OD×OE

=

5

10

，
所以异面直线PC与BD的夹角大小为arccos

5

10

．

点评：本题主要考查线面角与线线角，求空间角的步骤是：做角，证角，求角，而由图形的结构及题设条件正确作出空间角来，是求角的关键，此题属于中档题．