Question

【题目】已知点在同一个球的上,,,.若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据几何体的特征,小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,可得DQ与面ABC垂直时体积最大,从而求出球的半径,即可求出球的表面积.

根据题意知,A、B、C三点均在球心O的表面上,

且,,,由余弦定理可得BC,

∴△ABC为直角三角形,

∴△ABC外接圆直径,即,

且,

的中点即为小圆的圆心设为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,

所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为S△ABC×DQ,

∴,

设球的半径为R,则

在直角△AQO中,OA2＝AQ2+OQ2,即

∴,

∴球的表面积为,

故答案为：.