题目内容
如图，A为椭圆
上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有AF1∶AF2＝3∶1．
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设
．
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求λ1＋λ2的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是λ1＋λ2否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由．
答案：
解析：
解析：
解(Ⅰ)设
，则
．由题设及椭圆定义得
，消去
得
，所以离心率
．3分
(Ⅱ)解法一：由(1)知，
，所以椭圆方程可化为
．
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，
，直线
的方程为
．
由
得 
，解得
，
∴点
的坐标为
．
又
，所以
，
，所以
，
．6分
②当A点为该椭圆上的一个动点时，
为定值6．
证明 设
，
，则
．
若
为椭圆的长轴端点，则
或
，
所以
．8分
若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由
得，
，所以
．
又直线的方程为
，所以由
得
．
，
∴
．
由韦达定理得 
，所以
．同理
．
∴
．
综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6．14分
解法二：设，，则
∵
，∴
；………………8分
又
①，
②，将
、
代入②得：
即
③；
③
①得：
；……………12分
同理：由
得
，∴
，∴
．…14分
练习册系列答案
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如图，F1，F2是椭圆
（a＞b＞0）上的焦点，P为椭圆上的点，PF1⊥OX轴，且OP和椭圆的一条长轴顶点A和短轴顶点B的连线AB平行．
，求椭圆方程．
上的动点，F1、F2是双曲线的焦点，M是∠F1PF2的平分线上的一点，且
．有一同学用以下方法研究|OM|：延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，得
．类似地：P是椭圆
上的动点，F1、F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上的一点，且
．则|OM|的取值范围是（ ）
上的一个动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F2，当AB⊥x轴时，恰好有|AF1|=3|AF2|．
上的一个动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F2，当AB⊥x轴时，恰好有|AF1|=3|AF2|．