Question

给出下列四个函数：①y=x+sinx；②y=x²-cosx；③y=2^x-2^-x；④y=e^x+lnx，其中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调的函数是

①③

．（写出所有满足条件的函数的序号）

Answer 1

分析：由题意，可先由函数奇偶性的判断规则找出四个函数的奇函数，再利用导数与函数单调性的判断规则对是奇函数的函数的单调性进行判断，找出符号题意的函数即可得到答案

解答：解：考察四个函数，：①y=x+sinx与；③y=2^x-2^-x；这两个函数是奇函数，；②y=x²-cosx；是偶函数，；④y=e^x+lnx的定义域不关于原点对称是非奇非偶函数
由此可排除②④
对于函数①，y′=1+cosx≥0故是单调函数，符合题意
对于函数；③y=2^x-2^-x，由于函数2^x是增函数，函数2^-x是减函数，故y=2^x-2^-x是增函数，
综上判断知，既是奇函数，又在区间（0，1）上单调的函数是①③
故答案为①③

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及函数奇偶性的判断方法，函数单调性的判断方法，有一定的综合性，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，且能根据题设条件灵活选用判断的手段．本题考查了推理谁的能力及观察判断的能力，属于函数单调性与奇偶性综合运用的常见题型．