Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）的导函数f′（x）的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的坐标分别为M（-

π

3

，3），N（

π

3

，-3）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

2π

9

个单位得到函数g（x）图象，直线x=t（t∈[0，

π

2

]）与f（x），g（x）的图象分别交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，f^′（x）=A?cos（?x+φ），由相邻的两个顶点的坐标可求A、?，再由五点法作图可求φ．
（Ⅱ）由函数f（x）的解析式求得函数g（x）的解析式，化简∴|PQ|=|f（t）-g（t）|的解析式，
得到|PQ|=2|cos（

3

2

t+

π

3

）|，由 0≤t≤

π

2

，求|PQ|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，f^′（x）=A?cos（?x+φ），函数f^′（x）的周期 T=

4π

3

，∴?=

3

2

．又A?=3，∴A=2．
∵M(-

π

3

，3)是最高点坐标，∴

3

2

× (-

π

3

 )+φ=0，∴φ=

π

2

．∴f(x)=2sin(

3

2

x+

π

2

)=2cos

3

2

x．（5分）

（Ⅱ）g(x)= 2cos

3

2

(x-

2

9

π)=cos(

3

2

x-

π

3

)．（7分）
∴|PQ|=|f（t）-g（t）|=2|cos

3

2

t-cos(

3

2

t-

π

3

)|=2| cos(

3

2

t+

π

3

)|．
∵t∈[0，

π

2

]，∴

3

2

t+

π

3

∈[

π

3

，

13π

12

]∴|PQ|∈[1，2]．
∴|PQ|的最大值为2．．（12分）

点评：本题考查求函数的导数的方法，求函数解析式的方法，应用三角公式化简三角函数式以及求三角函数的值域．