题目内容
【题目】.
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)若,求证:
.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)先求函数导数,再根据定义域研究导函数零点:当
时,仅有一个零点;当
时,有两个零点;列表分析导函数符号变号规律得单调区间(2)根据(1)得
,将不等式转化为证明
,构造函数
。利用导数可得
试题解析:(1),
,
则,
当时,
在
上单调增,
上单调减,
当时,令
,解得
,
,
当,解得
,
∴,
的解集为
,
;
的解集为
,
∴函数的单调递增区间为:
,
,
函数的单调递减区间为
;
当,解得
,
∴,
的解集为
;
的解集为
,
综上可知:,函数
的单调递增区间为:
,
,函数
的单调递减区间为
;
,函数
的单调递增区间为
,函数
的单调递减区间为
.
(2)证明:∵,故由(1)可知函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
∴在
时取极大值,并且也是最大值,即
,
又∵,
∴,
设,
,
∴的单调增区间为
,单调减区间为
,
∴,
∵,∴
,∴
,
,
∴.
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