Question

已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）求导数f′（x）．
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）按导数的求导法则求解
（2）由f′（-1）=0代入可得f（x），先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最值
（3）（法一）由题意可得f′（2）≥0，f′（-2）≥0联立可得a的范围
    （法二）求出f′（x），再求单调区增间（-∞，x_1）和[x₂，+∞），依题意有（-∞，-2）⊆（-∞，x_1）[2，+∞]⊆[x₂，+∞）

解答：解：（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，∴f'（x）=3x²-2ax-4．
（2）由f'（-1）=0得a=

1

2

，此时有f(x)=(x2-4)(x-

1

2

)，f′(x)=3x2-x-4．
由f'（x）=0得x=

4

3

或x=-1，又f(

4

3

)=-

50

27

，f(-1)=

9

2

，f(-2)=0，f(2)=0，
所以f（x）在[-2，2]上的最大值为

9

2

，最小值为-

50

27

．
（3）解法一：f'（x）=3x²-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，由条件得f'（-2）≥0，f'（2）≥0，
∴-2≤a≤2．
所以a的取值范围为[-2，2]．
解法二：令f'（x）=0即3x²-2ax-4=0，由求根公式得：x1，2=

a± a2+12

3

(x1＜x2)
所以f'（x）=3x²-2ax-4．在（-∞，x₁]和[x₂，+∞）上非负．
由题意可知，当x≤-2或x≥2时，f'（x）≥0，
从而x₁≥-2，x₂≤2，
即

a2+12 ≤6-a a2+12 ≤a+6

解不等式组得-2≤a≤2．
∴a的取值范围是[-2，2]．

点评：本题考查了导数的求解，利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在
（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．利用导数求单调区间要区分“单调区间”和“在区间上单调递增”两个不同概念．