Question

已知a为实数，f（x）=x³-ax²-9x．
（1）求导数f'（x）；
（2）若f'（-1）=0，求f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在[-1，1]上是递减的，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用幂函数的导数公式（xⁿ）'=nx^n-1，进行求解即可；
（2）先根据f'（-1）=0，求出参数a，然后在区间[-1，1]求f′（x）=0的值，确定函数f（x）在区间[-1，1]上的单调性，从而求出函数在[-1，1]上的最值；
（3）根据f（x）在[-1，1]上是递减，等价于f'（x）≤0在区间[-1，1]上恒成立，得到f'（-1）≤0，f′（1）≤0，建立方程组，解之即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax²-9x，∴f'（x）=3x²-2ax-9．
（2）由f'（-1）=3得a=3，此时有f（x）=x³-3x²-9x，f'（x）=3x²-6x-9．
由f'（x）=0得x=3或x=-1，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是减函数．
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f（-1）=-1-3+9=5，最小值为f（1）=1-3-9=-11．
（3）∵f（x）在[-1，1]上是递减，
∴f'（x）=3x²-2ax-9≤0在区间[-1，1]上恒成立．
由条件得f'（-1）≤0，f′（1）≤0，
即

3+2a-9≤0 3-2a-9≤0

，
∴-3≤a≤3．
所以a的取值范围为[-3，3]．

点评：本题主要考查了导函数的求解，以及研究函数在闭区间上的最值问题和利用导数研究函数的单调性，预计未来的高考，导数还会继续发挥其巨大的工具功能，属于中档题．