Question

已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（Ⅰ）若f′（-1）=0，求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的导函数，令导函数在x=-1处的值为0求出a，将a的值代入导函数，令导函数等于0求出两个根，将两个根代入f（x）求出两个函数值，再求出区间的两个端点对应的函数值，从中选出最大值与最小值．
（II）求出f（x）的导函数，将已知条件的单调性转化为不等式恒成立，结合二次函数的图象，从区间的端点值的符号，对称轴与区间的关系及判别式加以限制，列出不等式组，求出a的范围．

解答：解：（I）f′（x）=3x²-2ax-4，f′(-1)=0解得a=

1

2

∴f′（x）=（3x-4）（x+1）
令f′（x）=0得x=

4

3

，x=-1
∵f（-1）=

9

2

，f(

4

3

)=-

50

27

，f（-4）=-54，f（4）=42
∴f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值分别是42，-54
（II）f′（x）≥0对一切x∈（-∞，-2]及[2，+∞）均成立，
∴

f′(-2)≥0 f′(2)≥0 -2≤ a 3 ≤2 △≥0

或△≤0
解得-2≤a≤2

点评：求函数在闭区间上的最值问题，一般先利用导数求出函数的极值，再求出闭区间的两个端点对应的函数值，从中选出最值．